Что значит "эволюта и эвольвента"

(от лат. evolutus ≈ развёрнутый и evolvens, род. падеж evolventis ≈ разворачивающий), понятия дифференциальной геометрии: множество m центров кривизны плоской кривой l называется эволютой этой кривой; кривая l по отношению к своей эволюте называется эвольвентой (см. рис.). Эвольвента l кривой m может быть получена как траектория конца В нити AB, которая наматывается на линию m или разматывается с неё (этим построением эвольвенты и объясняется др. её назв. «развёртка»). Указанное построение эвольвенты делает ясным следующие свойства Э. и э.:

1. касательная CD в произвольной точке С эволюты является нормалью в соответствующей точке D эвольвенты (следовательно, эвольвента есть ортогональная траектория касательных эволюты);

2. всякая ортогональная траектория касательных кривой т является эвольвентой (поэтому у данной кривой бесконечно много эвольвент);

3. разность радиусов кривизны AB и CD в точках В и D эвольвенты равна длине дуги AC эволюты;

4. эволюта является огибающей семейства нормалей эвольвенты.

   Если линия l задана параметрическими уравнениями х = x (t), y = y (t), то параметрические уравнения её эволюты будут следующие:

   ,

   Эвольвенту пространственной кривой можно определить как ортогональную траекторию касательных этой кривой.

   Лит.: Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956.